{"id":140,"date":"2023-10-12T23:16:49","date_gmt":"2023-10-12T23:16:49","guid":{"rendered":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/?page_id=140"},"modified":"2023-10-12T23:32:21","modified_gmt":"2023-10-12T23:32:21","slug":"kmathf-differentialgleichungen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/konferenz-der-mathematischen-fachbereiche\/kmathf-gebiete-der-mathematik\/kmathf-differentialgleichungen\/","title":{"rendered":"Differentialgleichungen"},"content":{"rendered":"\n
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Differential-gleichungen<\/h4>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
Skripte<\/strong><\/a><\/td>B\u00fccher<\/strong><\/a><\/td>Publikationen<\/strong><\/a><\/td>Themen<\/strong><\/a><\/td>Quellen<\/strong><\/a><\/td>Mathematik<\/strong><\/a><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Bei den Differentialgleichungen zeigt sich die Anwendbarkeit der Mathematik in Naturwissenschaft und Technik besonders deutlich. So gilt zum Beispiel bei geradliniger Bewegung f\u00fcr die Geschwindigkeit v(t) und die zur\u00fcckgelegte Wegl\u00e4nge s(t) die Gleichung s'(t)=v(t), wobei s‘ die Ableitung nach der Zeitvariablen t bezeichnet. Die Funktion s nennt man eine L\u00f6sung der Differentialgleichung s’=v(t).<\/p>\n\n\n\n

Allgemein nennt man eine Gleichung der Form   y(n)<\/sup> = f(x, y, y‘,…, y(n-1)<\/sup>)  eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.<\/em> Hierbei sei f eine reellwertige stetige Funktion auf einer Teilmenge G von R<\/strong>n+1<\/sup>. Eine L\u00f6sung<\/em> ist eine n mal auf einem reellen Intervall I<\/em> differenzierbare Funktion y, die f\u00fcr jedes x aus I<\/em> die beiden folgenden Bedingungen erf\u00fcllt: Der Punkt  (x, y(x), y'(x) ,…, y(n-1)<\/sup>(x)) liegt in G, und es ist y(n)<\/sup>(x) = f(x, y(x), y'(x) ,…, y(n-1)<\/sup>(x)).<\/p>\n\n\n\n

Wir betrachten einige Beispiele,<\/strong> wobei wir die Abk\u00fcrzung DGL f\u00fcr „Differentialgleichung“ benutzen:<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Die Gleichung  y’=y  ist eine DGL 1.Ordnung. Man sieht sofort, dass  y(x) = ex<\/sup>  eine L\u00f6sung ist. Tats\u00e4chlich ist yc<\/sub>(x) = c ex<\/sup>  f\u00fcr jede Konstante c aus R<\/strong> eine L\u00f6sung, und es ist I<\/em>=R<\/strong>.<\/li>\n\n\n\n
  2. Die Gleichung  y“ = – y  ist eine DGL 2.Ordnung. Eine partikul\u00e4re<\/em> L\u00f6sung ist y(x)=cos(x), denn es ist y'(x)=-sin(x) und also y“(x)=-sin’x=-cos(x)=-y(x). Eine allgemeine L\u00f6sung ist die Funktion y(x) = c1<\/sub>cos(x) + c2<\/sub>sin(x).<\/li>\n\n\n\n
  3. Die Gleichung  y’= -x-1<\/sup> y  ist eine DGL 1.Ordnung mit allgemeiner L\u00f6sung  y(x) = c x-1<\/sup>, es ist y'(x) = -c x-2<\/sup> = – x-1<\/sup> y(x). Durch Vorgabe einer Anfangswertbedingung<\/em> kann man die L\u00f6sung eindeutig machen, zum Beispiel soll y(1)=27 gelten. Dann hat man nur eine L\u00f6sung, n\u00e4mlich  y(x) = 27 x-1<\/sup>. <\/li>\n\n\n\n
  4. Die Gleichung  y’= a(x) y  mit einer stetigen Funktion a hat L\u00f6sungen der Form  y(x) = c eA(x)<\/sup>,  wobei A irgendeine Stammfunktion von a ist und also  A‘ = a  erf\u00fcllt. Man nennt diese Gleichung eine homogene lineare DGL 1.Ordnung<\/em>.<\/li>\n\n\n\n
  5. L\u00f6sungen der inhomogenen<\/em> linearen DGL y’=a(x)y+b(x), wobei b(x) stetig und nicht Null ist, erh\u00e4lt man nach einer Idee von Lagrange (1736-1813) durch Variation der Konstanten.<\/em> Man macht einen Ansatz y(x)=c(x)eA(x)<\/sup>,  wobei A eine Stammfunktion von a ist, und erh\u00e4lt y'(x)=a(x)y(x)+c'(x)eA(x)<\/sup>. Vergleich mit der vorgegebenen DGL ergibt dann die unten in IV angegebenen L\u00f6sungen.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Man beachte, dass eine Stammfunktion stets nur bis auf eine additive Konstante C bestimmt ist. In der folgenden Tabelle sind einige einfachere DGL-Typen 1.Ordnung<\/strong> mit m\u00f6glichen L\u00f6sungsmethoden aufgelistet.<\/p>\n\n\n\n

    Typ<\/strong><\/td>L\u00f6sungen y(x)<\/strong><\/td><\/tr>
    I<\/strong><\/td>y‘ = f(x)<\/td>\"Integral\" f(x)dx<\/td><\/tr>
    II<\/strong><\/strong><\/td>y‘ = g(y)<\/td>L\u00f6se folgende Gleichung nach y auf: \"Integral\" g(y)-1<\/sup> dy  = x+C<\/td><\/tr>
    III<\/strong><\/strong><\/td>Getrennte Variable
    y‘ = f(x)g(y)<\/td>    		L\u00f6se folgende Gleichung nach y auf: \"Int\" g(y)-1<\/sup>dy  = \"Int\" f(x)dx<\/td><\/tr>
    IV<\/strong><\/strong><\/td>Inhomogene lineare DGL
    y’= a(x)y+b(x) und b nicht 0<\/td>    		Variation der Konstanten eA(x)<\/sup> ( \"Int\" b(x)e-A(x)<\/sup>dx+C), A’=a<\/td><\/tr>
    V<\/strong><\/strong><\/td>Bernoulli-DGL
    y‘ = f(x)y + h(x)yr<\/sup>,  r aus R<\/strong><\/td>    		Substitution
    z=y1-r<\/sup> ergibt z’=(1-r)f(x)z+(1-r)h(x), also Typ IV<\/td><\/tr>
    VI<\/strong><\/td>Ricatti-DGL
    y‘ = f(x) + g(x)y + h(x)y\u00b2<\/td>    		Falls partikul\u00e4re L\u00f6sung u gefunden: Sustitution
    z=y-u ergibt z’=(g(x)+2h(x)u(x))z+h(x)z\u00b2, also Typ V<\/td><\/tr>
    VII<\/strong><\/td>y‘ = f(x-1<\/sup>y)<\/td>Substitution
    z=x-1<\/sup>y ergibt z’=x-1<\/sup>(f(z)-z), also Typ III<\/td><\/tr>
    VIII<\/strong><\/td>Spezielle Riccatti-DGL
    y‘ = ax-2<\/sup> + by2<\/sup> mit a,b aus R<\/strong><\/td>    		Substitution
    z=y-1<\/sup> ergibt z’=-b-a(x-1<\/sup>z)2<\/sup>, also Typ VII<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

    Man muss hierbei sehr aufpassen, zum Beispiel muss nat\u00fcrlich g(y) ungleich 0 in II und III gelten. In einer Vorlesung \u00fcber gew\u00f6hnliche Differentialgleichungen werden Kriterien \u00fcber die Existenz von L\u00f6sungen und deren Eindeutigkeit bei vorgegebener Anfangswertbedingung<\/em> hergeleitet.<\/p>\n\n\n\n

    In der allgemeinen L\u00f6sung einer gew\u00f6hnlichen DGL der Ordnung n hat man n freie Konstanten. Ist n=1, so ist durch die DGL y’=f(x,y) in jedem Punkt P einer jeden L\u00f6sungskurve yc<\/sub>(x) eine Steigung vorgegeben (n\u00e4mlich die Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt P). Man spricht dann von einem Richtungsfeld<\/em>, und in einfachen F\u00e4llen kann man an dem Richtungsfeld die L\u00f6sung ablesen. Oben auf dieser Seite ist das Richtungsfeld einer DGL vom Typ y’=f(x-1<\/sup>y) aufgemalt.<\/p>\n\n\n\n

    Ab n=2 kann man statt Anfangswertbedingungen auch Randwertbedingungen<\/em> stellen, um die Konstanten zu bestimmen. Ist y“=f(x,y,y‘) eine DGL 2.Ordnung, so ist zum Beispiel durch y(x0<\/sub>)=y0<\/sub> und y'(x0<\/sub>)=y1<\/sub> eine Anfangswertbedingung und durch y(x0<\/sub>)=y0<\/sub> und y(x1<\/sub>)=y1<\/sub> eine Randwertbedingung gegeben. Man unterscheidet hier zwischen Anfangswertaufgaben<\/em> und Randwertaufgaben.<\/em><\/p>\n\n\n\n

    Untersucht werden auch Systeme von Differentialgleichungen,<\/em> zum Beispiel kann man ein homogenes lineares System 1.Ordnung mit Hilfe des Matrizenkalk\u00fcls schreiben als y‘<\/strong>=A<\/strong>(x)y<\/strong>, wobei A<\/strong>(x) eine Matrix ist, und mit Methoden der linearen Algebra behandeln. Hierbei geht dann auch die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ein.<\/p>\n\n\n\n

    Gew\u00f6hnliche Differentialgleichungen werden bereits in den Vorlesungen Analysis II oder III betrachtet. Danach kann man dann noch Vorlesungen \u00fcber gew\u00f6hnliche und partielle Differentialgleichungen<\/em> anschlie\u00dfen. Bei partiellen Differentialgleichungen h\u00e4ngen die L\u00f6sungsfunktionen von mehr als einer Variablen ab. Man kann sie bei zwei Variablen x,y zum Beispiel schreiben als f(x,y,z(x,y),zx<\/sub>,zy<\/sub>,zxx<\/sub>,zxy<\/sub>,zyy<\/sub>,…)=0, wobei die Indizes partielle Ableitungen bedeuten.<\/p>\n\n\n\n

    kersten@mathematik.uni-bielefeld.de<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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