{"id":138,"date":"2023-10-12T23:16:41","date_gmt":"2023-10-12T23:16:41","guid":{"rendered":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/?page_id=138"},"modified":"2023-10-12T23:32:48","modified_gmt":"2023-10-12T23:32:48","slug":"kmathf-geometrie","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/konferenz-der-mathematischen-fachbereiche\/kmathf-gebiete-der-mathematik\/kmathf-geometrie\/","title":{"rendered":"Geometrie"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure>
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Geometrie<\/h4>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
Skripte<\/strong><\/a><\/td>B\u00fccher<\/strong><\/a><\/td>Publikationen<\/strong><\/a><\/td>Themen<\/strong><\/a><\/td>Quellen<\/strong><\/a><\/td>Mathematik<\/strong><\/a><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

In der analytischen Geometrie geht man von einem Vektorraum V<\/em> \u00fcber den reellen Zahlen R<\/strong> aus, zum Beispiel von V<\/em>=R<\/strong>\u00b3, dem 3-dimensionalen Raum. Die Vektoren in V<\/em> kann man addieren und mit einem Skalar<\/em> \u00b5 aus R<\/strong> multiplizieren, wobei gewisse Rechenregeln gelten, insbesondere gibt es einen Nullvektor 0<\/strong>. Um Begriffe wie L\u00e4nge<\/em> und Winkel<\/em> zu definieren, ordnet man je zwei Vektoren v,w<\/em> aus V<\/em> ein Skalarprodukt<\/em> <v,w<\/em>> aus R<\/strong> zu, das die folgenden Regeln f\u00fcr u,v,w<\/em> aus V<\/em> und \u00b5 aus R<\/strong> zu erf\u00fcllen hat:<\/p>\n\n\n\n

1.<\/td><u+v,w<\/em>> = <u,w<\/em>> + <v,w<\/em>>
< \u00b5 v,w<\/em> > = \u00b5 <v,w<\/em>><\/td>		linear im 1.Argument<\/em><\/td><\/tr>
2.<\/td><v,w<\/em>> = <w,v<\/em>><\/td>symmetrisch<\/em><\/td><\/tr>
3.<\/td><v,v<\/em>> gr\u00f6\u00dfer 0, falls v<\/em> ungleich 0<\/strong><\/td>positiv definit<\/em><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Mit Hilfe der Symmetrieeigenschaft 2. kann man leicht zeigen, dass das Skalarprodukt auch linear im 2.Argument<\/em> ist, d.h. es gilt auch <u,v+w<\/em>> = <u,v<\/em>> + <u,w<\/em>> und <v<\/em>, \u00b5 w<\/em>> = \u00b5 <v,w<\/em>>.<\/p>\n\n\n\n

Ein reeller Vektorraum, der mit einem solchen Skalarprodukt versehen ist, wird euklidischer Vektorraum<\/em> genannt. Hierin ist die L\u00e4nge<\/em> ||v<\/em>|| eines Vektors v<\/em> definiert als die positive Quadratwurzel aus <v,v<\/em>>. Es gilt also <v,v<\/em>> = ||v<\/em>||\u00b2.  Der Winkel<\/em> \u00df zwischen zwei Vektoren v,w<\/em> wird so definiert, dass er die Eigenschaft <v,w<\/em>> = ||v||\u00b7||w||\u00b7cos(\u00df)  erf\u00fcllt. Insbesondere stehen zwei Vektoren, die ungleich 0<\/strong> sind, genau dann senkrecht aufeinander,<\/em> wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.<\/p>\n\n\n\n

Ein Skalarprodukt definiert eine orthogonale Geometrie<\/em> auf V<\/em>. Es kommen aber auch Skalarprodukte vor, die zwar die Regeln 1. und 2. erf\u00fcllen, aber nicht die Regel 3. Aus dem Tr\u00e4gheitssatz von Sylvester<\/em> folgt dann, dass es auf einem n-dimensionalen reellen Vektorraum V<\/em> bis auf Isometrie genau n+1 verschiedene regul\u00e4re orthogonale Geometrien gibt, n\u00e4mlich eine positiv definite, eine negativ definite und zu jedem r=1,..,n-1 eine, die genau auf einem r-dimensionalen Untervektorraum von V<\/em> positiv definit ist. Dies ist keineswegs offensichtlich und wird meist in der Vorlesung \u00fcber Lineare Algebra im ersten Studienjahr eines Mathematikstudiums bewiesen, und dort werden dann auch Begriffe wie Isometrie<\/em> und regul\u00e4r<\/em> erkl\u00e4rt. Statt „regul\u00e4r“ sagt man oft auch „nicht ausgeartet“.<\/p>\n\n\n\n

Ein Skalarprodukt, das die beiden Eigenschaften 1. und 2. erf\u00fcllt, wird auch eine symmetrische Bilinearform<\/em> genannt. Symmetrische Bilinearformen sind auf Vektorr\u00e4umen \u00fcber einem beliebigen K\u00f6rper K anstelle von R<\/strong> erkl\u00e4rt und ihr Studium f\u00fchrt in die Theorie der quadratische Formen<\/em> und damit bereits in ein aktuelles riesiges Forschungsgebiet der Mathematik.<\/p>\n\n\n\n

Statt symmetrischer Bilinearformen kann man zum Beispiel auch schiefsymmetrische<\/em> Bilinearformen betrachten. Es gilt dann statt 2. die Bedingung <v,w<\/em>> = – <w,v<\/em>>, und man spricht von symplektischer Geometrie.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Die erw\u00e4hnten Geometrien werden in einem Vektorraum betrieben und h\u00e4ngen somit alle von einem ausgezeichneten Punkt ab, n\u00e4mlich vom Nullpunkt 0<\/strong>. Zum Beispiel sind die 1-dimensionalen Untervektorr\u00e4ume von R<\/strong>\u00b3 die Geraden durch 0<\/strong> und die 2-dimensionalen die Ebenen durch 0<\/strong>. Um zum Beispiel auch Geraden und Ebenen, die nicht durch den Nullpunkt gehen, zu studieren, betrachtet man affine R\u00e4ume<\/em> und gelangt zur affinen Geometrie<\/em>. Um sich einige in der affinen Geometrie n\u00f6tige Fallunterscheidungen zu ersparen, geht man dann noch zu projektiven R\u00e4umen<\/em> \u00fcber, wo zum Beispiel zwei Geraden stets einen Schnittpunkt haben (auch parallele Geraden). Grundlagen der affinen und der projektiven Geometrie werden h\u00e4ufig schon in der Vorlesung \u00fcber Lineare Algebra im ersten Studienjahr vermittelt. Im Verlauf des weiteren Studiums schlie\u00dfen sich dann Vorlesungen \u00fcber Differentialgeometrie und algebraische Geometrie an.<\/p>\n\n\n\n

kersten@mathematik.uni-bielefeld.de<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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