{"id":136,"date":"2023-10-12T23:16:32","date_gmt":"2023-10-12T23:16:32","guid":{"rendered":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/?page_id=136"},"modified":"2023-10-12T23:33:21","modified_gmt":"2023-10-12T23:33:21","slug":"kmathf-topologie","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/kmathf\/kmathf-gebiete-der-mathematik\/kmathf-topologie\/","title":{"rendered":"Topologie"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure>
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Topologie<\/h4>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
Skripte<\/strong><\/a><\/td>B\u00fccher<\/strong><\/a><\/td>Publikationen<\/strong><\/a><\/td>Themen<\/strong><\/a><\/td>Quellen<\/strong><\/a><\/td>Mathematik<\/strong><\/a><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Ein topologischer Raum<\/em> ist eine Menge T<\/em> zusammen mit einem System von Teilmengen, die als offen<\/em> bezeichnet werden, mit folgenden Eigenschaften:<\/p>\n\n\n\n

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  1. Der Durchschnitt endlich vieler offener<\/em> Mengen ist offen.<\/li>\n\n\n\n
  2. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.<\/li>\n\n\n\n
  3. Die leere Menge und T<\/em> sind offen.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Im euklidischen 3-dimensionalen Raum R<\/strong>\u00b3 ist zum Beispiel eine offene Kugel<\/em> mit Mittelpunkt P und Radius r gegeben als die Menge aller Punkte, deren Abstand von P echt kleiner als r ist. Erkl\u00e4rt man nun eine Teilmenge U von R<\/strong>\u00b3 als offen<\/em>, wenn jeder Punkt aus U Mittelpunkt einer in U liegenden offenen Kugel ist, so wird R<\/strong>\u00b3 dadurch zu einem topologischen Raum.<\/p>\n\n\n\n

    Das Komplement einer offenen Menge bezeichnet man als abgeschlossen<\/em>, und man kann einen topologischen Raum T<\/em> auch durch abgeschlossene Mengen charakterisieren:<\/p>\n\n\n\n

      \n
    1. Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener<\/em> Mengen ist abgeschlossen.<\/li>\n\n\n\n
    2. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.<\/li>\n\n\n\n
    3. Die leere Menge und T<\/em> sind abgeschlossen.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

      Ekl\u00e4rt man z.B. eine Teilmenge des affinen n-Raumes C<\/strong>n<\/sup> \u00fcber den komplexen Zahlen als abgeschlossen,<\/em> wenn sie die Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen in n Variablen ist, so erh\u00e4lt man dadurch eine Topologie auf C<\/strong>n<\/sup>, die sogenannte Zariski-Topologie<\/em>, die in der algebraischen Geometrie eine wichtige Rolle spielt.<\/p>\n\n\n\n

      Der Begriff des topologischen Raumes ist so allgemein gefa\u00dft, dass er zu vielen verschiedenen mathematischen Objekten und Situationen pa\u00dft. Nicht nur auf Zahlenr\u00e4umen sondern z.B. auch auf Mengen, die aus Funktionen bestehen, kann man Topologien erkl\u00e4ren. Dennoch sind die Begriffe der Analysis wie Konvergenz<\/em> und Stetigkeit<\/em> allgemein f\u00fcr beliebige topologische R\u00e4ume definiert; so ist z.B. eine Abbildung eines topologischen Raumes in einen anderen stetig<\/em>, wenn das Urbild einer jeden offenen Menge wieder offen ist.<\/p>\n\n\n\n

      Topologische Begriffe ziehen sich durch das ganze Mathematikstudium, und einige topologische Grundbegriffe wie Umgebung<\/em> oder kompakter Raum<\/em> werden bereits in den Anf\u00e4ngervorlesungen vermittelt. Eine Vorlesung \u00fcber Mengentheoretische Topologie kann man ab dem dritten Semester h\u00f6ren. Weiterf\u00fchrende Vorlesungen sind z.B. topologische Gruppen, algebraische Topologie, insbesondere Homotopie-<\/em> und Homologietheorie<\/em>, sowie Differentialtopologie, f\u00fcr die Differenzierare Mannigfaltigkeit<\/em> der Grundbegriff ist.<\/p>\n\n\n\n

      kersten@mathematik.uni-bielefeld.de<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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