{"id":132,"date":"2023-10-12T23:16:21","date_gmt":"2023-10-12T23:16:21","guid":{"rendered":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/?page_id=132"},"modified":"2023-10-12T23:33:28","modified_gmt":"2023-10-12T23:33:28","slug":"kmathf-zahlentheorie","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/konferenz-der-mathematischen-fachbereiche\/kmathf-gebiete-der-mathematik\/kmathf-zahlentheorie\/","title":{"rendered":"Zahlentheorie"},"content":{"rendered":"\n
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Zahlentheorie<\/h4>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
Skripte<\/strong><\/a><\/td>B\u00fccher<\/strong><\/a><\/td>Publikationen<\/strong><\/a><\/td>Themen<\/strong><\/a><\/td>Quellen<\/strong><\/a><\/td>Mathematik<\/strong><\/a><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n


Eine Primzahl<\/em> ist eine nat\u00fcrliche Zahl (ungleich 1), die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist wie zum Beispiel 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37; und jede nat\u00fcrliche Zahl (au\u00dfer 1) l\u00e4\u00dft sich als ein Produkt von endlich vielen Primzahlen schreiben, zum Beispiel ist 60=2\u00b72\u00b73\u00b75.<\/p>\n\n\n\n

Wie bereits Euklid vor mehr als 2000 Jahren erkannt hat, gibt es unendlich viele Primzahlen. Dies hat er bewiesen, indem er die Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen p1<\/sub>,…..,pn<\/sub> gibt, zum Widerspruch gef\u00fchrt hat: Es sei a=p1<\/sub>\u00b7…\u00b7pn<\/sub> ihr Produkt und p eine Primzahl, die a+1 teilt. Dann kann p keine der Primzahlen p1<\/sub>,…..,pn<\/sub> sein (da sonst auch (a+1)-a=1 durch p teilbar w\u00e4re). Also gibt es im Widerspruch zur Annahme mindestens n+1 Primzahlen.<\/p>\n\n\n\n

Die Zahlentheorie besch\u00e4ftigt sich mit den Eigenschaften von Zahlen. Im Ring<\/em> Z<\/strong> der ganzen Zahlen<\/em> …,-3,-2,-1,0,1,2,3…. kann man addieren, subtrahieren und multiplizieren. Bildet man Quotienten von ganzen Zahlen (zum Beispiel \u00be), so kommt man zum K\u00f6rper<\/em> Q<\/strong> der rationalen Zahlen<\/em>. Dort kann man dann auch noch durch jede Zahl ungleich 0 dividieren. Aber man kann nicht unbedingt algebraische Gleichungen<\/em> l\u00f6sen. Zum Beispiel haben die Gleichungen x\u00b2-2=0 und x\u00b3-x-1=0 in Q<\/strong> keine L\u00f6sung. Man geht daher zu einem Erweiterungsk\u00f6rper von Q<\/strong> \u00fcber, in dem dann eine bestimmte algebraische Gleichung der Form xn<\/sup>+an-1<\/sub>xn-1<\/sup>+…+a1<\/sub>x+a0<\/sub>=0 eine L\u00f6sung hat und nennt einen solchen K\u00f6rper einen Zahlk\u00f6rper.<\/em> In jedem Zahlk\u00f6rper K<\/em> gibt es einen Ganzheitsring<\/em>, aus dem K<\/em> durch Quotientenbildung entsteht.<\/p>\n\n\n\n

Die elementare Zahlentheorie<\/em> besch\u00e4ftigt sich haupts\u00e4chlich mit den Eigenschaften ganzer Zahlen in Q<\/strong> und in quadratischen Zahlk\u00f6rpern. Man studiert unter anderem Teilbarkeitseigenschaften und kann zum Beispiel mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus den gr\u00f6\u00dften gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen aus Z<\/strong> bestimmen. Es gilt in Z<\/strong> der sogenannte Fundamentalsatz der Arithmetik:<\/em><\/p>\n\n\n\n

Jede ganze Zahl, die ungleich 0 und \u00b11 ist, l\u00e4\u00dft sich abgesehen von Vorzeichen und Reihenfolge eindeutig<\/em> als Produkt von Primzahlen schreiben.<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr einen quadratischen Zahlk\u00f6rper ist die Situation dann schon eine v\u00f6llig andere. Ist zum Beispiel u eine Zahl, die u\u00b2=-5 erf\u00fcllt, so l\u00e4\u00dft sich die Zahl 6 auf zwei verschiedene Weisen als ein Produkt von unzerlegbaren Zahlen schreiben: es ist 6=2\u00b73 und andererseits auch 6=(1-u)\u00b7(1+u). Auch kann es dann vorkommen, dass sich eine Primzahl zerlegen l\u00e4\u00dft, zum Beispiel ist 11=(4+v)\u00b7(4-v), wenn v\u00b2 =5 ist.<\/p>\n\n\n\n

Betrachtet man statt Zahlen Ideale<\/em> im Ganzheitsring eines Zahlk\u00f6rpers, so gilt daf\u00fcr der Fundamentalsatz; er sagt dann aus, dass sich jedes Ideal bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primidealen schreiben l\u00e4\u00dft. In der algebraischen Zahlentheorie<\/em> studiert man insbesondere dann auch das Zerlegungsverhalten von Primidealen bei K\u00f6rpererweiterungen.<\/p>\n\n\n\n

Analog wie man in der Analysis die reellen Zahlen mit Hilfe des Absolutbetrages als Vervollst\u00e4ndigung von Q<\/strong> realisieren kann, so kann man mit Hilfe des p-Betrage<\/em>s zu jeder Primzahl p eine Vervollst\u00e4ndigung von Q<\/strong> konstruieren. Dies sind die p-adischen K\u00f6rper<\/em>, die man auch lokale K\u00f6rper<\/em> nennt. Die Arithmetik in diesen K\u00f6rpern und ihren Erweiterungsk\u00f6rpern ist wesenlich einfacher als in Zahlk\u00f6rpern. H\u00e4ufig gelingt es in der Zahlentheorie, einen Satz f\u00fcr alle lokalen K\u00f6rper beweisen und dann daraus zu schlie\u00dfen, dass er auch global gilt. Man spricht dann von einem Hasse-Prinzip.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Neben den algebraischen Zahlen gibt es auch transzendente Zahlen<\/em>, die sich nicht als L\u00f6sung einer algebraischen Gleichung realisieren lassen wie zum Beispiel die Eulersche Zahl e<\/em> oder die Kreiszahl pi<\/em>. Die Untersuchung transzendenter Zahlen geh\u00f6rt in die analytische Zahlentheorie<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Schlie\u00dflich betrachtet man in der Zahlentheorie auch noch Diophantische Gleichungen<\/em>, benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos (um 250). Diophantische Gleichungen sind Gleichungen mit Koeffizienten aus Z<\/strong>, zu denen man L\u00f6sungen in Z<\/strong> sucht. Zum Beispiel hat die Gleichung x\u00b2+y\u00b2=z\u00b2 die ganzzahlige L\u00f6sung x=3, y=4, z=5. Da diese Gleichung eine geometrische Interpretation durch den Satz von Pythargoras (ca 580-500 v.Chr.) hat, nennt man ein Zahlentripel (a,b,c) mit der Eigenschaft a\u00b2+b\u00b2=c\u00b2 ein pythargor\u00e4isches Tripel.<\/em> Zum Beispiel sind auch (5,12,13), (7,24,25) und (8,15,17) pythargor\u00e4ische Tripel. Der ber\u00fchmte Satz von Fermat<\/em> besagt, dass die diophantische Gleichung xn<\/sup>+yn<\/sup>=zn<\/sup> (abgesehen von trivialen L\u00f6sungen mit x=0 oder y=0) ab n=3 in Z<\/strong> nicht l\u00f6sbar ist. Dieser Satz wurde erst 1995 von Andrew Wiles mit Methoden der algebraischen Geometrie bewiesen.<\/p>\n\n\n\n

Eine Vorlesung \u00fcber elementare Zahlentheorie kann man ab dem 3.Semester eines Mathematikstudiums besuchen. Um algebraische Zahlentheorie verstehen zu k\u00f6nnen, ben\u00f6tigt man auch Kenntnisse aus der Algebra und f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis der analytischen Zahlentheorie zus\u00e4tzlich auch aus der Funktionentheorie. Mit gen\u00fcgend Kenntnissen in der algebraischen Geometrie kann man sich dann noch in die arithmetische Geometrie<\/em> einarbeiten.<\/p>\n\n\n\n

kersten@mathematik.uni-bielefeld.de<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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