{"id":130,"date":"2023-10-12T23:16:08","date_gmt":"2023-10-12T23:16:08","guid":{"rendered":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/?page_id=130"},"modified":"2023-10-12T23:32:07","modified_gmt":"2023-10-12T23:32:07","slug":"kmathf-algebra","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/konferenz-der-mathematischen-fachbereiche\/kmathf-gebiete-der-mathematik\/kmathf-algebra\/","title":{"rendered":"Algebra"},"content":{"rendered":"\n
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Algebra<\/h4>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
Skripte<\/strong><\/a><\/td>B\u00fccher<\/strong><\/a><\/td>Publikationen<\/strong><\/a><\/td>Themen<\/strong><\/a><\/td>Quellen<\/strong><\/a><\/td>Mathematik<\/strong><\/a><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

In der Algebra besch\u00e4ftigt man sich u.a. mit der L\u00f6sbarkeit von Polynomgleichungen<\/em> in einer Unbekannten. Beispielsweise ist die Gleichung   x2<\/sup>+1 = 0   durch keine reelle Zahl l\u00f6sbar. Sie hat aber genau zwei L\u00f6sungen in C<\/strong>, dem K\u00f6rper der komplexen Zahlen<\/em>, n\u00e4mlich die sogenannte imagin\u00e4re Einheit i<\/em> und deren Negatives -i<\/em>. Es gilt i<\/em> 2<\/sup> =-1,   und das Polynom<\/em>   x2<\/sup>+1   zerf\u00e4llt \u00fcber C<\/strong> in Linearfaktoren:<\/em> es ist<\/p>\n\n\n\n

x2<\/sup>+1=( x-i<\/em> )( x+i<\/em> ).<\/p>\n\n\n\n

Allgemeiner gilt sogar, dass jedes Polynom xn<\/sup>+an-1<\/sub>xn-1<\/sup>+…+a1<\/sub>x+a0<\/sub> mit komplexen Koeffezienten a0<\/sub>,…,an-1<\/sub> \u00fcber C<\/strong> in Linearfaktoren zerf\u00e4llt. Dies ist der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra<\/em>, f\u00fcr den es sch\u00f6ne funktionentheoretische Beweise gibt.<\/p>\n\n\n\n

Durch die Substitution   i<\/em> -> –i<\/em>   wird ein sogenannter Automorphismus<\/em> von C<\/strong> definiert, der alle reellen Zahlen festh\u00e4lt. Zusammen mit der identischen Abbildung bildet er die Galoisgruppe<\/em> von C<\/strong> \u00fcber R<\/strong>, benannt nach dem franz\u00f6sischen Mathematiker Evariste Galois<\/em> (1811-1832), der im Alter von 21 Jahren im Duell gefallen ist.<\/p>\n\n\n\n

In der Regel wird im dritten Semester eines Mathematikstudiums eine Algebra-Vorlesung geh\u00f6rt. Hier werden Eigenschaften algebraischer Strukturen wie Gruppen,<\/em> Ringe<\/em> und K\u00f6rper<\/em> untersucht und insbesondere Erweiterungsk\u00f6rper eines vorgegebenen K\u00f6rpers K studiert. Ist L ein galoisscher Erweiterungsk\u00f6rper von K, so gilt der Hauptsatz der Galoistheorie,<\/em> der eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Zwischenk\u00f6rpern zwischen K und L und den Untergruppen der Galoisgruppe von L \u00fcber K herstellt. Dieser Satz wird in der Algebravorlesung bewiesen und angewandt.<\/p>\n\n\n\n

Es stellt sich heraus, dass zwar alle quadratischen<\/em> Gleichungen x2<\/sup>+a1<\/sub>x+a0<\/sub>=0, alle kubischen<\/em> Gleichungen x3<\/sup>+a2<\/sub>x2<\/sup>+a1<\/sub>x+a0<\/sub>=0 und alle Gleichungen x4<\/sup>+a3<\/sub>x3<\/sup>+a2<\/sub>x2<\/sup>+a1<\/sub>x+a0<\/sub>=0 vom Grad 4<\/em> mit Koeffizienten aus K durch Wurzelausdr\u00fccke l\u00f6sbar sind (in einem geeigneten Erweiterungsk\u00f6rper von K), so wie man es f\u00fcr quadratische Gleichungen schon in der Schule lernt, aber die allgemeine Gleichung vom Grad n<\/em> ab dem Grad n=5 nicht mehr durch Wurzelausdr\u00fccke l\u00f6sbar ist.<\/p>\n\n\n\n

Als weitere Anwendungen des Hauptsatzes der Galoistheorie ergeben Aussagen \u00fcber Konstruktionen mit Zirkel und Lineal<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

An die Algebravorlesung kann man verschiedene andere Vorlesungen anschlie\u00dfen, z.B. \u00fcber Kommutative Algebra, Algebraische Geometrie, Algebraische Zahlentheorie, Homologische Algebra, Computeralgebra, Liealgebren, Brauergruppen, Quadratische Formen, Algebraische Gruppen, Darstellungstheorie und je nach Interessenlage darauf aufbauende Spezialvorlesungen.<\/p>\n\n\n\n

kersten@mathematik.uni-bielefeld.de<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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