{"id":125,"date":"2023-10-09T20:04:16","date_gmt":"2023-10-09T20:04:16","guid":{"rendered":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/?page_id=125"},"modified":"2023-10-12T23:33:00","modified_gmt":"2023-10-12T23:33:00","slug":"kmathf-lineare-algebra","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/kmathf.de\/Home\/konferenz-der-mathematischen-fachbereiche\/kmathf-gebiete-der-mathematik\/kmathf-lineare-algebra\/","title":{"rendered":"Lineare Algebra"},"content":{"rendered":"\n
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Analytische Geometrie und Lineare Algebra<\/h4>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
Skripte<\/strong><\/a><\/td>B\u00fccher<\/strong><\/a><\/td>Publikationen<\/strong><\/a><\/td>Themen<\/strong><\/a><\/td>Quellen<\/strong><\/a><\/td>Mathematik<\/strong><\/a><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Eines der Grundanliegen in der Mathematik ist das L\u00f6sen von Gleichungen. In der Linearen Algebra werden lineare Gleichungssysteme<\/em> studiert. Gegeben sind z.B. die beiden Gleichungen <\/p>\n\n\n\n

4<\/td>x<\/td>–<\/td>y<\/td>=<\/td>3<\/td><\/tr>
5<\/td>x<\/td>+<\/td>y<\/td>=<\/td>6<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

und gesucht sind zwei reelle Zahlen x,y, die beide Gleichungen erf\u00fcllen. Wie man schnell sieht, sind dies x=1 und y=1. In einem (x,y)-Koordinatensystem kann man sich die beiden Gleichungen als zwei Geraden veranschaulichen, die sich in dem Punkt (1,1) schneiden.<\/p>\n\n\n\n

Ein allgemeines lineares Gleichungssystem hat die Form<\/p>\n\n\n\n

a11<\/sub><\/td>x1<\/sub><\/td>+<\/td>a12<\/sub><\/td>x2<\/sub><\/td>+<\/td>…<\/td>+<\/td>a1n<\/sub><\/td>xn<\/sub><\/td>=<\/td>b1<\/sub><\/td><\/tr>
a21<\/sub><\/td>x1<\/sub><\/td>+<\/td>a22<\/sub><\/td>x2<\/sub><\/td>+<\/td>…<\/td>+<\/td>a2n<\/sub><\/td>xn<\/sub><\/td>=<\/td>b2<\/sub><\/td><\/tr>
 <\/td>.<\/strong><\/td> <\/td>.<\/strong><\/td>.<\/strong><\/td> <\/td>.<\/strong><\/td> <\/td>.<\/strong><\/td>.<\/strong><\/td> <\/td>.<\/strong><\/td><\/tr>
am1<\/sub><\/td>x1<\/sub><\/td>+<\/td>am2<\/sub><\/td>x2<\/sub><\/td>+<\/td>…<\/td>+<\/td>amn<\/sub><\/td>xn<\/sub><\/td>=<\/td>bm<\/sub><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

wobei x1<\/sub>, x2<\/sub>,…,xn<\/sub> die Unbekannten<\/em> sind und die Koeffizienten<\/em> a11<\/sub>,…,ann<\/sub> einem bestimmten Zahlbereich angeh\u00f6ren wie z.B. dem K\u00f6rper der reellen Zahlen.<\/em> Man ordnet die Koeffizienten in einem rechteckigen Schema an und nennt dieses eine Matrix.<\/em> Es gibt nun ein Matrizenkalk\u00fcl, das es erlaubt, das Gleichungssystem einfach in der Form zu Ax<\/strong>=b<\/strong> zu schreiben, wobei A<\/strong> die Matrix der Koeffizienten ist. Das Gleichungssystem oben liest sich dann zum Beispiel so:<\/p>\n\n\n\n

4 <\/td>-1<\/td>x <\/td>=<\/td>3 <\/td><\/tr>
5<\/td>1<\/td>y<\/td>=<\/td>6<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Wenn m=n ist und die Matrix A<\/strong> eine inverse Matrix<\/em> A-1<\/sup><\/strong> besitzt, so ist das lineare Gleichungssystem Ax<\/strong>=b<\/strong> eindeutig l\u00f6sbar, und es ist x<\/strong>=A-1<\/sup>b<\/strong> die L\u00f6sung (so wie man es gewohnt ist, wenn es sich nur um eine Gleichung und eine Unbekannte handelt). Es ist dann die sogenannte Determinante von A<\/strong><\/em> ungleich 0. Das Matrizen- und das Determinantenkalk\u00fcl lernt man im ersten Semester eines Mathematikstudiums.<\/p>\n\n\n\n

Beispiele f\u00fcr Matrizen sind die magischen Quadrate<\/em>, bei denen die Zeilensummen und die Spaltensummen stets dieselbe nat\u00fcrliche Zahl ergeben, zum Beispiel:<\/p>\n\n\n\n

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Das Quadrat ist in dem Kupferstich Melancholia<\/a> von A.D\u00fcrer enthalten. Unten in der Mitte steht das Entstehungsjahr 1514. Zeilen-, Spalten-, Diagonalsummen und weitere Summen ergeben jeweils die Zahl 34.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

Die Aufstellung eines magischen Quadrates f\u00fchrt in die Theorie der linearen Gleichungssysteme. Wenn die Zahlen b1<\/sub>,…,bm<\/sub> in dem obigen allgemeinen Gleichungssystem alle 0 sind, bildet die Menge der L\u00f6sungen des Systems einen Vektorraum<\/em>; im allgemeinen bildet sie einen sogenannten affinen Raum<\/em>. Die Theorie der Vektorr\u00e4ume ist ein weiteres Kapitel in der Linearen Algebra, insbesondere lernt man dabei den Begriff der Dimension<\/em> eines Raumes. Studiert werden auch lineare Abbildungen<\/em> eines Vektoraums in einen anderen Vektorraum und gezeigt, wie man lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen kann.<\/p>\n\n\n\n

Ein weiterer wesentlicher Bestandteil der Linearen Algebra ist die Theorie der Eigenwerte<\/em> und Eigenvektoren<\/em>. Sie hat unter anderem wichtige Anwendungen f\u00fcr das L\u00f6sen von Differentialgleichungen<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Die beiden Vorlesungen Lineare Algebra I,II<\/em> sind obligatorisch in den ersten beiden Semestern eines Mathematikstudiums. Dabei werden auch Grundbegriffe der Analytischen Geometrie vermittelt, und deswegen wird an einigen Universit\u00e4ten auch ein Zusatz wie Geometrie<\/em> oder Analytische Geometrie<\/em> mit in den Titel der Vorlesung aufgenommen.<\/p>\n\n\n\n

Unter anderem gibt es ein Kapitel \u00fcber Euklidische Vektorr\u00e4ume<\/em>, in dem Begriffe wie die L\u00e4nge<\/em> eines Vektors und der Winkel<\/em> zwischen zwei Vektoren eingef\u00fchrt werden. Studiert werden auch Kegelschnitte<\/em>. Ein Kegelschnitt ist die L\u00f6sungsmenge im 2-dimensionalen Raum einer Gleichung der Form<\/p>\n\n\n\n

ax2<\/sup> + 2bxy + cy2<\/sup> + dx + ey + f = 0<\/p>\n\n\n\n


mit reellen Koeffizienten a,b,c,d,e,f. Dadurch wird eine Ellipse<\/em>, eine Hyperbel<\/em> oder eine Parabel<\/em> definiert, oder der Kegelschnitt ist ausgeartet<\/em>, d.h. er ist je nach Gleichung eine Gerade, ein Paar von Geraden, ein Punkt oder die leere Menge. Die nichtausgearteten Kegelschnitte kann man sich tats\u00e4chlich vorstellen als Schnitt einer Ebene durch einen Kegel:<\/p>\n\n\n\n

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So entsteht eine Hyperbel. Die Gleichung kann auf die Normalform<\/em> ax2<\/sup> + by2<\/sup> -1 = 0 gebracht werden, wobei a,b gr\u00f6\u00dfer 0 sind.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

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Links hat man eine Ellipse; ihre Gleichung kann auf die Form ax2<\/sup>-by2<\/sup>-1=0 gebracht werden, wobei a,b gr\u00f6\u00dfer 0 sind. Rechts ist eine Parabel; die Normalform der Parabelgleichung ist ax2<\/sup>-y=0, wobei a gr\u00f6\u00dfer 0 ist.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

An die Vorlesung \u00fcber Lineare Algebra schlie\u00dfen sich Vorlesungen wie Algebra<\/em> und Zahlentheorie<\/em> an sowie z.B. auch ein Proseminar \u00fcber Darstellungstheorie endlicher Gruppen<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

kersten@mathematik.uni-bielefeld.de<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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