Algebra
In der Algebra beschäftigt man sich u.a. mit der Lösbarkeit von Polynomgleichungen in einer Unbekannten. Beispielsweise ist die Gleichung x2+1 = 0 durch keine reelle Zahl lösbar. Sie hat aber genau zwei Lösungen in C, dem Körper der komplexen Zahlen, nämlich die sogenannte imaginäre Einheit i und deren Negatives -i. Es gilt i 2 =-1, und das Polynom x2+1 zerfällt über C in Linearfaktoren: es ist
x2+1=( x-i )( x+i ).
Allgemeiner gilt sogar, dass jedes Polynom xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 mit komplexen Koeffezienten a0,…,an-1 über C in Linearfaktoren zerfällt. Dies ist der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra, für den es schöne funktionentheoretische Beweise gibt.
Durch die Substitution i -> –i wird ein sogenannter Automorphismus von C definiert, der alle reellen Zahlen festhält. Zusammen mit der identischen Abbildung bildet er die Galoisgruppe von C über R, benannt nach dem französischen Mathematiker Evariste Galois (1811-1832), der im Alter von 21 Jahren im Duell gefallen ist.
In der Regel wird im dritten Semester eines Mathematikstudiums eine Algebra-Vorlesung gehört. Hier werden Eigenschaften algebraischer Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper untersucht und insbesondere Erweiterungskörper eines vorgegebenen Körpers K studiert. Ist L ein galoisscher Erweiterungskörper von K, so gilt der Hauptsatz der Galoistheorie, der eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Zwischenkörpern zwischen K und L und den Untergruppen der Galoisgruppe von L über K herstellt. Dieser Satz wird in der Algebravorlesung bewiesen und angewandt.
Es stellt sich heraus, dass zwar alle quadratischen Gleichungen x2+a1x+a0=0, alle kubischen Gleichungen x3+a2x2+a1x+a0=0 und alle Gleichungen x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0 vom Grad 4 mit Koeffizienten aus K durch Wurzelausdrücke lösbar sind (in einem geeigneten Erweiterungskörper von K), so wie man es für quadratische Gleichungen schon in der Schule lernt, aber die allgemeine Gleichung vom Grad n ab dem Grad n=5 nicht mehr durch Wurzelausdrücke lösbar ist.
Als weitere Anwendungen des Hauptsatzes der Galoistheorie ergeben Aussagen über Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
An die Algebravorlesung kann man verschiedene andere Vorlesungen anschließen, z.B. über Kommutative Algebra, Algebraische Geometrie, Algebraische Zahlentheorie, Homologische Algebra, Computeralgebra, Liealgebren, Brauergruppen, Quadratische Formen, Algebraische Gruppen, Darstellungstheorie und je nach Interessenlage darauf aufbauende Spezialvorlesungen.