Analysis
Ebenso wie Lineare Algebra I,II sind auch die beiden Vorlesungen Analysis I,II obligatorisch in den ersten beiden Semestern eines Mathematikstudiums. Hier lernt man die Differential- und Integralrechnung im Reellen – zunächst in einer Veränderlichen und dann im zweiten Semester in mehreren Veränderlichen. Wesentlich in der Analysis ist der Begriff des Grenzwertes oder Limes. So hat z.B. die unendliche Folge 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,…… den Grenzwert 0, und man sagt, dass diese Folge gegen 0 konvergiert. Bildet man hieraus eine neue Folge
s1=1, s2=1+1/2, s3=1+1/2+1/3, s4=1+1/2+1/3+1/4, ……
so besitzt diese keinen Grenzwert, wie in Analysis I gezeigt wird. Es handelt sich hierbei um die sogenannte harmonische Reihe, und diese ist, wie man sagt, divergent.
Allgemein bezeichnet man in der Analysis als eine unendliche Reihe die Folge der Partialsummen sn=a1+a2+…+an einer gegebenen Folge a1,a2,a3,a4,…. Zum Beispiel kann man die berühmte Kreiszahl pi mit Hilfe der unendlichen Reihe zur Folge 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36, 1/49, …… definieren. Der Grenzwert der zugehörigen Reihe ist pi2/6 (und der Grenzwert der Folge 0). Im allgemeinen ist die Berechnung von Grenzwerten eine durchaus anspruchsvolle Aufgabe. Über die Existenz von Grenzwerten sagen sogenannte Konvergenzkriterien etwas aus.
Ein zentraler Punkt in Analysis I ist der Beweis des sogenannten Hauptsatzes, der Integralrechnung und Differentialrechnung zueinander in Beziehung setzt. Damit kann man dann z.B. leicht Integrationsregeln aus Differentiationsregeln folgern wie z.B. die partielle Integration aus der Produktregel.
Weiterführende Vorlesungen sind z.B. Analysis III, Funktionentheorie, gewöhnliche Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, Differentialgeometrie, Kurven- und Flächentheorie.